施密特标准正交化计算步骤

施密特正交化是一种将一组线性无关的向量转化为一组正交向量的方法。以下是施密特正交化的计算步骤：

1. 选取基向量 ：

选取一个线性无关的向量组 \\（ \\{\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots, \\mathbf{v}_n\\} \\） 作为基向量。

2. 正交化 ：

对于每个 \\（ \\mathbf{v}_i \\）（从 \\（ i = 2 \\） 到 \\（ n \\）），执行以下步骤：

计算 \\（ \\mathbf{v}_i \\） 在之前所有正交向量 \\（ \\{\\mathbf{u}_1, \\mathbf{u}_2, \\ldots, \\mathbf{u}_{i-1}\\} \\） 上的投影，记为 \\（ \\text{proj}_{\\mathbf{u}_j}（\\mathbf{v}_i） \\）。

从 \\（ \\mathbf{v}_i \\） 中减去所有投影的总和，得到新的向量 \\（ \\mathbf{u}_i \\）：\\（ \\mathbf{u}_i = \\mathbf{v}_i - \\sum_{j=1}^{i-1} \\text{proj}_{\\mathbf{u}_j}（\\mathbf{v}_i） \\）。

3. 单位化 ：

如果 \\（ \\mathbf{u}_i \\） 不是零向量，则将其单位化，即除以它的模 \\（ \\|\\mathbf{u}_i\\| \\）：\\（ \\mathbf{u}_i = \\frac{\\mathbf{u}_i}{\\|\\mathbf{u}_i\\|} \\）。

4. 重复步骤 ：

重复步骤2和3，直到处理完所有的向量 \\（ \\{\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots, \\mathbf{v}_n\\} \\）。

5. 得到标准正交基 ：

最终得到的正交向量组 \\（ \\{\\mathbf{u}_1, \\mathbf{u}_2, \\ldots, \\mathbf{u}_n\\} \\） 就是原始向量组 \\（ \\{\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots, \\mathbf{v}_n\\} \\） 的标准正交基。

以上步骤确保了新得到的正交向量组不仅正交，而且每个向量都是单位向量，即模为1。

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